Question

在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，平面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=

1

2

BC．
（I）證明：FO∥平面CDE；
（II）設(shè)BC=λCD，是否存在實(shí)數(shù)λ，使EO⊥平面CDF，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，試求出λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證FO∥平面CDE，只需通過(guò)平行四邊形來(lái)證FO∥EM即可．
（II）連接FM，OM，易證EO⊥CD，若EO⊥平面CDF，則只需EO⊥FM，只需四邊形EFOM為菱形，即EF=EM，由（I）和已知條件，EF=

1

2

BC，在等邊三角形CDE中EM=

3

2

CD，從而求出λ的值．

解答：解：（Ⅰ）證明：取CD中點(diǎn)M，連接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OM

∥

.

1

2

BC，又EF

∥

.

1

2

BC，則EF

∥

.

OM，（3分）
連接EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（II）證明：存在實(shí)數(shù)λ=

3

，使EO⊥平面CDF
連接FM，OM在等邊三角形CDE中，CD⊥EM
又CD⊥OM，∴CD⊥平面EOM，∴EO⊥CD
若EO⊥平面CDF，則只需EO⊥FM，只需四邊形EFOM為菱形，即EF=EM
又由（I）和已知條件，EF=

1

2

BC，在等邊三角形CDE中EM=

3

2

CD
所以λ=

3

時(shí)，EO⊥平面CDF

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用平行四邊形實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線面平行的判斷定理以及線線垂直與線面垂直關(guān)系的關(guān)系，考查很全面．