Question

已知圓C：x²+y²=9，點(diǎn)A（-5，0），直線l：x-2y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
（2）在直線OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A），滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求與直線l垂直的直線的斜率，可得其方程，利用相切求出結(jié)果．
（2）先設(shè)存在，利用都有為一常數(shù)這一條件，以及P在圓上，列出關(guān)系，利用恒成立，可以求得結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)所求直線方程為y=-2x+b，即2x+y-b=0，∵直線與圓相切，
∴，得，
∴所求直線方程為，
（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B（t，0），
當(dāng)P為圓C與x軸左交點(diǎn)（-3，0）時(shí)，；
當(dāng)P為圓C與x軸右交點(diǎn)（3，0）時(shí)，，
依題意，，解得，t=-5（舍去），或．
下面證明點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)．
設(shè)P（x，y），則y²=9-x²，
∴，
從而為常數(shù)．
方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B（t，0），使得為常數(shù)λ，則PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，將y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0對(duì)x∈[-3，3]恒成立，
∴，解得或（舍去），
所以存在點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，圓的切線方程，又是存在性和探究性問(wèn)題，恒成立問(wèn)題，考查計(jì)算能力．是難題．