Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂ 是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且cos∠PF₁F₂=

4

5

，則雙曲線的兩條漸近線的方程分別是

y=±

4

3

x

．

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中利用余弦定理算出|PF₁|=

16

5

c，結(jié)合雙曲線的定義得到2a=||PF₁|-|PF₁||=

6

5

c，得a=

3

5

c．由雙曲線的基本量的平方關(guān)系算出b=

4

5

c，再結(jié)合雙曲線漸近線方程的公式，即可得出該雙曲線的漸近線方程．

解答：解：∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，cos∠PF₁F₂=

4

5

，
∴由余弦定理|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|cos∠PF₁F₂，
得4c²=|PF₁|²+4c²-2|PF₁|•2c•

4

5

，
解之得|PF₁|=

16

5

c
根據(jù)雙曲線的定義，可得||PF₁|-|PF₁||=2a
即

16

5

c-2c=2a，得a=

3

5

c
∴b=

c2-a2

=

4

5

c
因此，雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，即y=±

4

3

x
故答案為：y=±

4

3

x

點評：本題給出雙曲線右支上一點P到右焦點的距離等于焦距，在已知∠PF₁F₂的情況下求雙曲線的漸近線方程，著重考查了解三角形、雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．