Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=2

3

，AB=1，AD=2，AM⊥PD，垂足為M
（Ⅰ）證明：平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求三棱錐M-PAC的高．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明CD⊥AM，由AM⊥平面PCD，即可證明平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）先證明AM為三棱錐M-PAC的高，可求得∠DPA=30°，從而有AM=

1

2

PA=

3

．

解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥AP
∵AD∩AP=P
∴CD⊥平面PAD
∵CM?平面PAD
∴CD⊥AM
∵AM⊥PD，CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD
∵AM?平面ACM
∴平面ACM⊥平面PCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已證明CD⊥AM，AM⊥PD
∴AM⊥PC
∴AM為三棱錐M-PAC的高．
∵PA=2

3

，AB=1，AD=2，
∴PD=4，∠DPA=30°，
∴AM=

1

2

PA=

3

．
∴三棱錐M-PAC的高為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基本知識(shí)的考查．