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已知橢圓
x2
2
+y2=1，則橢圓內接矩形面積的最大值為
2
2
2
2
．
分析：設橢圓內接矩形為ABCD，如圖所示．設A（m，n），則矩形ABCD的面積S=4mn，利用基本不等式可得1=
m2
2
+n2≥
2
mn，由此即可算出當m=1且n=
2
2
時，矩形ABCD的面積的最大值為2
2
．
解答：解：設內接矩形為ABCD，A為橢圓第一象限部分的一點，如圖所示．
設A（m，n），可得矩形ABCD的面積為S=4mn，
∵
m2
2
+n2=1≥2
m2
2
•n2
=
2
mn，
當且僅當m=1、n=
2
2
時，等號成立
∴
2
mn有最大值為1，相應地mn有最大值為
2
2
．
因此當m=1、n=
2
2
時，矩形ABCD的面積為S=4mn的最大值為2
2
．
故答案為：2
2
點評：本題給出橢圓的內接矩形，求其面積的最大值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC∥x軸?求證直線AC經過線段EF的中點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓
x22
+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點．
（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
（II）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點．過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l的傾斜角α=
π
4
，求|AB|；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的左、右焦點為F1、F2，上頂點為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點O為坐標原點．
（ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1內有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內切圓？若存在，求其內切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

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