Question

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y＝x和y＝－x上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(方法一)設(shè) 　　∵，∴是線段的中點(diǎn)，∴　　(2分) 　　∵，∴，∴． 　　∴化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為　　(5分) 　　(方法二)∵，∴為線段的中點(diǎn)　　(2分) 　　∵、分別在直線和上，∴． 　　又，∴，∴點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上． 　　∴點(diǎn)的軌跡的方程為　　(5分) 　　(2)證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋m， 　　∵l與C相切，． 　　聯(lián)立，∴． 　　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1·x2＝　　(8分) 　　∴． 　　又，∴＝0　　(10分) 　　當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝±，帶入橢圓方程得 　　M(，)，N(，－)或M(－，)，N(－，－)， 　　此時(shí)，＝－＝0． 　　綜上所述，為定值0　　(12分)