Question

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=

4 5

5

，動(dòng)點(diǎn)P滿足2

OP

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓

x2

4

+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，求證：

OM

•

ON

為定值．

Answer 1

分析：（1）（方法一）設(shè)P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由2

OP

=

OA

+

OB

，知P是線段AB的中點(diǎn)，由此能得到點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（方法二）由2

OP

=

OA

+

OB

，知P為線段AB的中點(diǎn)，由M、N分別在直線y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，由l與C相切，知

|m|

1+k2

=

2 5

5

，m2=

4

5

(1+k2)．聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，故

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．由此能夠證明

OM

•

ON

為定值0．

解答：解：（1）（方法一）設(shè)P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P是線段AB的中點(diǎn)，∴

x= x1+x2 2 y= x1-x2 2 .

（2分）
∵|AB|=

4 5

5

，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=

16

5

，∴(2y)2+(2x)2=

16

5

．
∴化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=

4

5

．（5分）
（方法二）∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P為線段AB的中點(diǎn)、（2分）
∵M(jìn)、N分別在直線y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=

4 5

5

，∴|OP|=

2 5

5

，∴點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，

2 5

5

為半徑的圓上、
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=

4

5

．（5分）
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
∵l與C相切，∴

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴m2=

4

5

(1+k2)．
聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，∴

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，y1y2=

m2-4k2

1+4k2

．（8分）
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

5m2-4k2-4

1+4k2

．
又m2=

4

5

(1+k2)，∴

OM

•

ON

=0．（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=±

2 5

5

，代入橢圓方程得
M（

2 5

5

，

2 5

5

），N（

2 5

5

，-

2 5

5

）或M（-

2 5

5

，

2 5

5

），N（-

2 5

5

，-

2 5

5

），
此時(shí)，

OM

•

ON

=

4

5

-

4

5

=0．
綜上所述，

OM

•

ON

為定值0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關(guān)知識(shí)．