Question

設(shè)雙曲線C：－y²＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q．

（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且·＝1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)＝λ·，若λ∈[－2，－1]，求|＋|（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0）（2）（3）

【解析】(1)由雙曲線方程可得A₁, A₂,設(shè)直線m的方程為x=a,代入橢圓方程求出P,Q的坐標(biāo)，再根據(jù)·＝1建立關(guān)于a的方程，求出a值，從而求出T點(diǎn)坐標(biāo).

(2)設(shè)出直線m:x=a,然后求出P、Q的坐標(biāo)，再求出直線A₁P與直線A₂Q方程，從而解方程組求出交點(diǎn)M的參數(shù)方程，消去參數(shù)a之后即可得到點(diǎn)M的軌跡E的普通方程.

（3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0.故可設(shè)直線l的方程為  中，得，再根據(jù)韋達(dá)定理可得y₁,y₂與k的兩個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)得到,從而可知

問題互此轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)來解決即可.

解：（1）由題，得，設(shè)

則

由  …………①

又在雙曲線上，則   …………②

聯(lián)立①、②，解得    由題意，

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）   …………3分

（2）設(shè)直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）

由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得   …………③

由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得    …………④

聯(lián)立③、④，解得    ∵在雙曲線上，

∴∴軌跡E的方程為  …………8分

（3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0.故可設(shè)直線l的方程為  中，得   設(shè)

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得  ……⑤      ……⑥  

∵ ∴有      將⑤式平方除以⑥式，得

   由

  ………………10分

∵

又

故……………….12分

令    ∴，即         ∴

而 ，  ∴

∴…………………….14分