拋物線x2=4y的焦點為F，過點（0，-1）作直線L交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，試求動點R的軌跡方程，并說明曲線的類型．
分析：設直線：AB：y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），求出F的坐標，利用AB和RF是平行四邊形的對角線，對角線的中點坐標重合，直線與拋物線有兩個交點，推出k的范圍，整理出R的軌跡方程即可．
解答：解：設直線：AB：y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），由題意F（0，1）．
由 y=kx-1，x2=4y，
可得x2=4kx-4．
∴x1+x2=4k．
∵AB和RF是平行四邊形的對角線，
∴x1+x2=x，y1+y2=y+1．
y1+y2=k（x1+x2）-2=4k2-2，
∴x=4k y=4k2-3，消去k，可得得x2=4（y+3）．
又∵直線和拋物線交于不同兩點，
∴△=16k2-16＞0，
|k|＞1
∴|x|＞4
所以x2=4（y+3），（|x|＞4）
點評：本題是中檔題，考查曲線軌跡方程的求法，注意挖掘題目的條件，推出直線的斜率的范圍（這是容易疏忽的地方），平行四邊形的對角線的交點的特征，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線有光學性質: 由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0)  一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l: 2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)

 (1)設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明：y1·y2=－p2；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

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拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0).一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x-4y-17=0上的點N，再折射后又射回點M(如圖所示).

（1）設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明y1·y2=-p2；

（2）求拋物線的方程；

（3）試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px（p＞0）,一光源在點M（，4）處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線對稱軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點N，再折射后又射回點M（如圖所示）.

(1)設P、Q兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，證明：y1y2=-p2;

(2)求拋物線的方程；

（3）試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

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