Question

拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，今有拋物線y²=2px(p＞0).一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x-4y-17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如圖所示).

（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明y₁·y₂=-p²；

（2）求拋物線的方程；

（3）試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路分析：本題是一道與物理中的光學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合性題目.

證明:由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意，知光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(),                          ①

由①式,得x=.

將其代入拋物線方程y²=2px中，整理得y²--p²=0.由韋達(dá)定理，y₁y₂=-p².

當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時(shí)，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y(tǒng)₁·y₂=-p².

(2)解：因?yàn)楣饩�QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(x′,y′)，

則解得

直線QN的方程為y=-1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₂=-1.

由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁=4，且由(1)知：y₁·y₂=-p²,則4·(-1)=-p²,得p=2.

故所求拋物線方程為y²=4x.

(3)解：將y=4代入y²=4x,得x=4.故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4).將y=-1代入直線l的方程為2x-4y-17=0.得x=.故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，-1).由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y-12=0.

設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對(duì)稱點(diǎn)為M₁(x₁,y₁)，

則

解得

又M₁(,-1)的坐標(biāo)是拋物線方程y²=4x的解，

故拋物線上存在一點(diǎn)(，-1)與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對(duì)稱.