Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=2n（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+a_n=2n（n∈N^*），得S_n-1+a_n-1=2（n-1）（n≥2），從而得到

an-2

an-1-2

=

1

2

，n≥2，再由S₁+a₁=2，解得a₁=1，能證明數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由an-2=-(

1

2

)n-1，得an=2-(

1

2

)n-1，由此利用分組求和法和等比數(shù)列性質(zhì)能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵S_n+a_n=2n（n∈N^*），①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1）（n≥2），②
①-②，得：2a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴a_n-1=2a_n-2，n≥2，
∴a_n-1-2=2（a_n-2），即

an-2

an-1-2

=

1

2

，n≥2，
∵S₁+a₁=2，解得a₁=1，∴a₁-2=-1，
∴數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an-2=-(

1

2

)n-1，
∴an=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1]
=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n+

1

2n-1

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分組求和法的合理運(yùn)用．