Question

如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點E，EF∥CB，EF交AD的延長線于點F，FG切圓O于點G．
（Ⅰ）求證：△DFE∽△EFA；
（Ⅱ）如果FG=1，求EF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圓中同弧所對圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，結合公共角∠EFD=∠EFD，證出△DEF∽△EFA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EF²=FA•FD，再由圓的切線長定理FG²=FD•FA，所以FG=EF=1．

解答： 證明：（Ⅰ）∵EF∥CB，
∴∠DEF=∠DCB．
∴∠DEF=∠DAB，
∴∠DEF=∠DAB．
又∵∠DFE=∠EFA，
∴△DFE∽△EFA…（4分）
解：（Ⅱ）∵△DFE∽△EFA，
∴EF：FA=FD：EF．
∴EF²=FA•FD．
又∵FG切圓于G，
∴GF²=FA•FD．
∴EF²=FG²．
∴EF=FG．
已知EF=1，
∴FG=1…（8分）

點評：本題考查與圓有關的角、比例線段，要善于尋找有關線段的數量關系，結合相關性質、定理求解．