Question

已知直線l：y=kx+b，曲線M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直線與曲線恰有三個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若b=1，直線與曲線M的交點(diǎn)依次為A，B，C，D四點(diǎn)，求(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況：①直線y=x+b與拋物線y=-x²+2在（-

2

，

2

）內(nèi)相切；②直線y=x+b過點(diǎn)（-

2

，0），即可確定實(shí)數(shù)b的值；
（2）根據(jù)直線y=kx+1與曲線M有四個交點(diǎn)確定k的范圍，由

y=x2-2 y=kx+1

(|x|≥

2

)，計算|AD|；由

y=-x2+2 y=kx+1

(|x|＜

2

)，計算|BC|，利用(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)=(

AD

-

BC

)•(

AD

+

BC

)=|

AD

|2-|

BC

|2，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）分兩種情況：
①直線y=x+b與拋物線y=-x²+2在（-

2

，

2

）內(nèi)相切，即方程x²+x+b-2=0在（-

2

，

2

）內(nèi)有△=0，
由△=1-4b+8=0，得b=

9

4

，符合．
②直線y=x+b過點(diǎn)（-

2

，0），即0=-

2

+b，得b=

2

．
綜上知，b=

9

4

或b=

2

（2）根據(jù)直線y=kx+1與曲線M有四個交點(diǎn)可得-

2

2

＜k＜

2

2

由

y=x2-2 y=kx+1

(|x|≥

2

)，得x²-kx-3=0，
則有：|AD|=

(k2+1)(k2+12)

，其中-

2

2

＜k＜

2

2

．
由

y=-x2+2 y=kx+1

(|x|＜

2

)，得x²+kx-1=0，
則有：|BC|=

(k2+1)(k2+4)

，其中-

2

2

＜k＜

2

2

．
所以(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)=(

AD

-

BC

)•(

AD

+

BC

)=|

AD

|2-|

BC

|2
=（k²+1）（k²+12）-（k²+1）（k²+4）=8（k²+1），
∵-

2

2

＜k＜

2

2

，∴8（k²+1）∈[8，12），
∴(

AB

+

CD

)•(

AD

+

BC

)∈[8，12)

點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．