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如圖,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1, M為側棱CC1上一點,AMBA1.

(1)求證:AM⊥平面A1BC;

(2)求二面角B AM C的大。

(3)求點C到平面ABM的距離.

證明:(I)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,

    ∵∠ACB = 90°,

∴BC⊥面ACC1A1,                                                                          

∵AM面ACC1A1

∴BC⊥AM

∵AM⊥BA1,且BC∩BA1=B

∴AM⊥平面A1BC                                                                                    

(II)設AM與A1C的交點為O,連結BO,由(I)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,所以∠BOC為二面角B AM C的平分角

在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC +∠ACO=90°,

    ∴∠AA1C =∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A1AC

∴AC2 = MC?AA1

,故所求二面角的大小為45°                                   

   (III)設點C到平面ABM的距離為h,易知BO=,

可得                                       

∴點C到平面ABM的距離為                                                        

解法二:(I)同解法一

   (II)如圖以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則

   

    即                              

    設向量,則

    的平面AMB的一個法向量為

    是平面AMC的一個法向量                 

   

    易知,所夾的角等于二面角B AM C的大小,故所求二面角的大小為45°

(III)向量即為所求距離         

     

∴點C到平面ABM的距離為

練習冊系列答案
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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

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