Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=（n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，得a_n=2a_n-1，a₁=2，由此能求出an=2n．
（Ⅱ）由b_n=（n-1）a_n=（n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足：S_n=2a_n-2（n∈N^*），
∴S_n-1=2a_n-1-2，n≥2，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
又a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴an=2n．
（Ⅱ）∵b_n=（n-1）a_n=（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁶+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n-1)

1-2

-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=-4-（n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-2)2n+1+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．