Question

設函數f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）討論f（x）的極值．

Answer 1

解：由已知得f′（x）=6x[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=a-1．
（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=6x²，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增
當a＞1時，f′（x）=6x[x-（a-1）]，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

從上表可知，函數f（x）在（-∞，0）上單調遞增；在（0，a-1）上單調遞減；在（a-1，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
當a=1時，函數f（x）沒有極值．
當a＞1時，函數f（x）在x=0處取得極大值，在45⁰處取得極小值1-（a-1）³．
分析：（I）先求導數fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后討論a=1與a＞1兩種情形，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）討論a=1與a＞1兩種情形，根據（I）可知f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的極值．
點評：本題主要考查了函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．