Question

已知f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，h（x）=f（x）•g（x）
（1）求函數(shù)h（x）的解析式，并求它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若h（x）=t有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件h（x）=f（x）•g（x）即可求函數(shù)h（x）的解析式，根據(jù)圖象即可求它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到滿足條件的t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，
∴h（x）=f（x）•g（x）=

x-2，x＜-1 x2-4，-1≤x≤1 -x-2，x＞1

，
作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
由圖象可知函數(shù)的遞增區(qū)間為：（-∞，-1）和（0，1）．
（2）由圖象可知
當(dāng)t＞-3時(shí)，方程h（x）=t有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)t=-3時(shí)，方程h（x）=t有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)t=-4時(shí)，方程h（x）=t有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-4＜t＜-3時(shí)，方程h（x）=t有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)t＜-4時(shí)，方程h（x）=t有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故若h（x）=t有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則-4＜t＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．