Question

（2012•汕頭二模）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)F(0，

1

2

)的距離等于它到定直線y=-

1

2

的距離，又已知點(diǎn) O（0，0），M（0，1）．
（1）求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn) P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的軌跡C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線y=

1

2

所得的弦長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn) P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的軌跡C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn) A，過(guò)點(diǎn) P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點(diǎn) B，問(wèn)：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請(qǐng)給予證明；如果沒有，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義判定出動(dòng)點(diǎn) P是以F(0，

1

2

)為焦點(diǎn)以y=-

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，直接寫出其方程為x²=2y
（2）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的方程，根據(jù)直線截圓的弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)l=2

r2-d2

求出該圓截直線y=

1

2

所得的弦長(zhǎng)
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式求出切線l的方程為y=x0x-

x02

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出B到PA的距離為d1=|x0-

x0

2

|=

|x0|

2

，再求出點(diǎn)B到直線PF的距離d2=

|(x02-1) x0 2 +x0|

(x02-1)2+(2x0)2

=

|x0|

2

=d1，根據(jù)角平分線的判定得到總有PB平分∠APF．

解答：解：（1）根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn) P是以F(0，

1

2

)為焦點(diǎn)以y=-

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，
所以p=1開口向上，
所以動(dòng)點(diǎn) P的軌跡C的方程為x²=2y
（2）以 M P為直徑的圓的圓心（

x0

2

，

y0+1

），|MP|=

x02+(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

所以圓的半徑r=

1

2

y02+1

，圓心到直線y=

1

2

的距離d=|

y0+1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|，
故截得的弦長(zhǎng)l=2

r2-d2

=2

1 4 y02+ 1 4 - 1 4 y02

 =1
（3）總有 P B平分∠A PF．
證明：因?yàn)?span id="iq0ug0u" class="MathJye">y=

x2

2

所以，y^′=x，kl|x=x0=x0．
所以切線l的方程為y=x0x-

x02

2

，
令y=0得x=

x0

2

，
所以B（

x0

2

，0）
所以B到PA的距離為d1=|x0-

x0

2

|=

|x0|

2

下面求直線PF的方程，
因?yàn)?span id="agiaqwy" class="MathJye">F(0，

1

2

)
所以直線PF的方程為y-

1

2

=

x02 2 - 1 2

x0

(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0
所以點(diǎn)B到直線PF的距離d2=

|(x02-1) x0 2 +x0|

(x02-1)2+(2x0)2

=

|x0|

2

=d1
所以 PB平分∠APF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式；點(diǎn)到直線的距離公式以及角平分線的判定，屬于一道綜合題．