(2012•汕頭二模)已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0.
(1)當(dāng)a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a=4時,若函數(shù)y=f(x)-m有三個不同的零點,求m的取值范圍;
(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點p(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時,若
h(x)-g(x)x-x0
>0
在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”,請你探究當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)是否存在“類對稱點”,若存在,請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(2x-a)(x-1)
x
,由f(x)>0能求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a=4時,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+
4
x
-6,其中x>0,由f(x)=0求出極值點,把函數(shù)y=f(x)-m有三個不同的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的交點問題解決;
(3)當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)在其圖象上一點P(x0,f(x0))處的切線方程為y=m(x)=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)
+x02-6x0+4lnx0.由此能推導(dǎo)出y=f(x)存在“類對稱點”,
2
是一個“類對稱點”的橫坐標(biāo).
解答:解:(1)∵f(x)=x2-(a+2)x+alnx,
∴f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(2x-a)(x-1)
x
,其中x>0,
令f'(x)=0,得x=1或x=
a
2

∵a>2,∴
a
2
>1.
當(dāng)0<x<1及x>
a
2
時,f'(x)>0;
當(dāng)1<x<
a
2
時,f'(x)<0;
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
a
2
,+∞).
(2)當(dāng)a=4時,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+
4
x
-6=
2x2-6x+4
x
=
2(x-1)(x-2)
x
,其中x>0,
當(dāng)x∈(0,1),(2,+∞)時,f(x)>0.
當(dāng)x∈(1,2)時,f(x)<0.
∴f(x)在x∈(0,1),(2,+∞)時為增函數(shù),
在x∈(1,2)時為減函數(shù).
∴f(x)的極大值為f(1)=-5,極小值為f(2)=4ln2-8.
要使函數(shù)y=f(x)-m有三個不同的零點,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m有三個不同交點,
如圖,則m的取值范圍是(4ln2-8,-5).
(3)由(2)知,當(dāng)a=4時,函數(shù)y=f(x)在其圖象上一點P(x0,f(x0))處的切線方程為:
y=m(x)=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0
,
設(shè)φ(x)=f(x)-m(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)-(x02-6x0+4lnx0)

則φ(x0)=0.
?′(x)=2x+
4
x
-6-(2x0+
4
x0
-6)=2(x-x0)(1-
2
xx0
)=
2
x
(x-x0)(x-
2
x0

若x0
2
,φ(x)在(x0
2
x0
)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x∈(x0,
2
x0
)時,φ(x)<φ(x0)=0,此時
∅(x)
x-x0
<0;
x0
2
,φ(x)在(
2
x0
,x0)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x∈(
2
x0
,x0)時,φ(x)>φ(x0)=0,此時
∅(x)
x-x0
<0.
∴y=f(x)在(0,
2
)∪(
2
,+∞)上不存在“類對稱點”.
x0=
2
2
x
(x-
2
)2
>0,
∴φ(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)x>x0時,φ(x)>φ(x0)=0,
當(dāng)x<x0時,φ(x)<φ(x0)=0,故
∅(x)
x-x0
>0.
即此時點P是y=f(x)的“類對稱點”
綜上,y=f(x)存在“類對稱點”,
2
是一個“類對稱點”的橫坐標(biāo).
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法,探索滿足函數(shù)在一定零點下的參數(shù)的求法,探索函數(shù)是否存在“類對稱點”.解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,此題是難題.
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1
4
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an
+
an+1
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x
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-
3
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