Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線L₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)F任作直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向（x-1）²+y²=

1

4

各引一條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，記α=∠AFP，β=∠BFQ，求證：cosα+cosβ為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）拋物線C與直線L₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求拋物線C的方程．
（Ⅱ）對(duì)直線l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義即可得出．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C與直線L₁：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-4），
代入拋物線C：y²=2px，可得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k²+4，x₁x₂=1
∵cosα+cosβ=

|FP|

|AF|

+

|FQ|

|BF|

=

1 2

x1+1

+

1 2

x2+1

=

1

2

，
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，cosα+cosβ=

1

2

，
綜上，cosα+cosβ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的性質(zhì)、分類討論的思想方法、直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．