Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)，
（1）若橢圓C的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，求橢圓C的方程．
（2）若Rt△ABC以A（0，1）為直角頂點(diǎn)，邊AB，BC與橢圓交于兩點(diǎn)B，C，求Rt△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知直線AF的方程為x+cy-c=0，

|3+c-c|

c2+1

=

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)AB的方程y=kx+1，則AC的方程為y=-

1

k

x+1．由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

得xB=-

2a2k

1+a2k2

，由

y=- 1 k x+1 x2 a2 +y2=1

得xC=

2a2k

a2+k2

，由此能求出Rt△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）圓M：（x-3）²+（y-1）²=3的圓心M（3，1），半徑r=

3

，
由題意知直線AF的方程為

x

c

+y=1，
即x+cy-c=0，
由直線AF與圓M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
∴c²=2，a²=c²+1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1
（2）∵Rt△ABC以A（0，1）為直角頂點(diǎn)，
∴設(shè)AB的方程y=kx+1，則AC的方程為y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

得：（1+a²k²）x²+2a²kx=0，
∴xB=-

2a2k

1+a2k2

，
由

y=- 1 k x+1 x2 a2 +y2=1

得：（a²+k²）x²-2a²kx=0，
∴xC=

2a2k

a2+k2

，
從而有|AB|=

(- 2a2k 1+a2k2 )2+(- 2a2k2 1+a2k2 )2

=

2a2k

1+a2k2

1+k2

，
|AC|=

( 2a2k a2+k2 )2+(- 2a2 a2+k2 )2

=

2a2

a2+k2

1+k2

，
于是 S △ABC=

1

2

|AB||AC|=2a4

k(1+k2)

(1+a2k2)(a2+k2)

=2a4

k+ 1 k

a2(k2+ 1 k2 )+a4+1

．
令t=k+

1

k

≥2，有S △ABC=

2a4t

a2t2+(a2-1)2

=

2a4

a2t+ (a2-1)2 t

，
a2t+

(a2-1)2

t

≥2a(a2-1)，t=

a2-1

a

時等號成立．
∵t≥2，∴當(dāng)

a2-1

a

≥2，即a≥1+

2

時，
t=

a2-1

a

，(S△ABC)max=

a3

a2-1

，
∴當(dāng)1＜a＜1+

2

時，

a2-1

a

＜2，
∴t=2時，（S_△ABC）_max=

4a4

(1+a2)2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．