Question

（2006•黃浦區(qū)二模）設(shè)a為正數(shù)，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三邊長(zhǎng)}．
（1）畫出A所表示的平面區(qū)域；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定a∈Z，且y∈Z時(shí)，（x，y）稱為格點(diǎn)，當(dāng)a=8時(shí)，A內(nèi)有幾個(gè)格點(diǎn)（本小題只要直接寫出結(jié)果即可）；
（3）點(diǎn)集A連同它的邊界構(gòu)成的區(qū)域記為

.

A

，若圓{(x，y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆

.

A

(r＞0)，求r的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的三邊滿足的條件2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x，畫出A所表示的平面區(qū)域；
（2）當(dāng)a=8時(shí)，結(jié)合圖形列出A內(nèi)的格點(diǎn)，得到格點(diǎn)個(gè)數(shù)，
（3）結(jié)合圖象，當(dāng)圓與三角形相切時(shí)半徑最大，根據(jù)等面積法求出r的最大值．

解答：解：（1）集合A表示一個(gè)點(diǎn)集（平面上一組點(diǎn)），這些點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足：2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x
其中a是正數(shù)．
表示一個(gè)由直線2x+2y=a 和x=

a

2

和y=

a

2

圍成的三角形區(qū)域．

（2）當(dāng)a=8時(shí)，A內(nèi)的格點(diǎn)有（2，3），（3，2），（3，3）共3個(gè)格點(diǎn)．
（3）結(jié)合圖象，當(dāng)圓與三角形相切時(shí)半徑最大，根據(jù)等面積法得到

a

2

r+

a

2

r+

2

2

ar=

a

2

×

a

2

解得r=

2- 2

4

a

點(diǎn)評(píng)：本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵，當(dāng)圓與三角形相切時(shí)三角形內(nèi)的圓半徑最大，屬于中檔題．