Question

已知函數(shù), 在處取得極小值2．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）設(shè)函數(shù)， 若對(duì)于任意，總存在， 使得， 求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數(shù)的解析式為 ；（2）時(shí)，函數(shù)有極小值-2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值2 ；（3）a的取值范圍是(-∞,-1］∪［ 3,+∞).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)在極值處導(dǎo)函數(shù)為0，極小值為2聯(lián)立方程組即可求得m，n；（2）由（1）求得函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)且讓導(dǎo)函數(shù)為0，即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值-2 ，即對(duì)任意總存在，使得的最小值不大于-2 ；而 ，分、、三種情況討論即可.

試題解析：（1）∵函數(shù)在處取得極小值2，∴ 1分

又 ∴

由②式得m=0或n=1，但m=0顯然不合題意 ∴，代入①式得m=4

∴ 2分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值2

∴函數(shù)的解析式為 4分

（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且由（1）有

令，解得：

∴當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
	—	0	+	0	—
	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴時(shí)，函數(shù)有極小值-2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值2 8分

（3）依題意只需即可．

∵函數(shù)在時(shí)，；在時(shí)，且

∴ 由（2）知函數(shù)的大致圖象如圖所示：

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值-2 10分

又對(duì)任意總存在，使得 ∴當(dāng)時(shí)，的最小值不大于-2

又

①當(dāng)時(shí)，的最小值為 ∴得；

②當(dāng)時(shí)，的最小值為 ∴得；

③當(dāng)時(shí)，的最小值為 ∴得或

又∵ ∴此時(shí)a不存在

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1］∪［3,+∞)． 13分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)思想、分類討論思想.