Question

在淘寶網(wǎng)上，某店鋪專賣當(dāng)?shù)啬撤N特產(chǎn)，由以往的經(jīng)驗(yàn)表明，不考慮其他因素，該特產(chǎn)每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克，1<x≤5)滿足：當(dāng)1<x≤3時(shí)，y＝a(x－3)²＋，(a，b為常數(shù))；當(dāng)3<x≤5時(shí)，y＝－70x＋490，已知當(dāng)銷售價(jià)格為2元/千克時(shí)，每日可售出該特產(chǎn)700千克；當(dāng)銷售價(jià)格為3元/千克時(shí)，每日可售出該特產(chǎn)150千克．

(1)求a，b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)若該特產(chǎn)的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使店鋪每日銷售該特產(chǎn)所獲利潤(rùn)f(x)最大(x精確到0.01元/千克)．

Answer 1

解：(1)因?yàn)?i>x＝2時(shí)，y＝700；x＝3時(shí)，y＝150，所以

解得a＝400，b＝300.

每日的銷售量y＝；

(2)由(1)知，當(dāng)1<x≤3時(shí)：

每日銷售利潤(rùn)f(x)＝ (x－1)

＝400(x－3)²(x－1)＋300

＝400(x³－7x²＋15x－9)＋300(1<x≤3)

f′(x)＝400(3x²－14x＋15)

當(dāng)x＝，或x＝3時(shí)f′(x)＝0

當(dāng)x∈時(shí)f′(x)>0，f(x)單增；當(dāng)x∈時(shí)f′(x)<0，f(x)單減．

∴x＝是函數(shù)f(x)在(1,3]上的惟一極大值點(diǎn)，

f＝400×＋300>700；

當(dāng)3<x≤5時(shí)：

每日銷售利潤(rùn)f(x)＝(－70x＋490)(x－1)

＝－70(x²－8x＋7)

f(x)在x＝4有最大值，且f(4)＝630<f

綜上，銷售價(jià)格x＝≈1.67元/千克時(shí)，每日利潤(rùn)最大．