Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值． 

Answer 1

（1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且 ．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又 ，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF平面BCE，BG平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）解：在平面CDE內(nèi)，過(guò)F作FH⊥CE于H，連BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，
∴FH⊥平面BCE． ∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角．
設(shè)AD=DE=2AB=2a，
則 ， ，
Rt△FHB中， ．
∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為 ．