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8.已知向量m=(-2sin(π-x),cosx),n=(3cosx,2sin(π2-x)),函數(shù)f(x)=1-mn
(1)若x∈[0,π2],求函數(shù)f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[0,π]時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)利用向量的乘積運算求出f(x)的解析式,將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,在求解x∈[0,π2],函數(shù)f(x)的最值,即可得值域.
(2)當(dāng)x∈[0,π]時,求出內(nèi)層函數(shù)的范圍,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解答 解:(1)由題意:m=(-2sin(π-x),cosx),n=(3cosx,2sin(π2-x)),
函數(shù)f(x)=1-mn
=1+23cosxsin(π-x)-2cosxsin(π2-x)
=1+23sinxcosx-2cos2x
=1+3sin2x-1-cos2x
=3sin2x-cos2x
=2sin(2x-π6),
當(dāng)x∈[0,π2]時,2xπ6∈[π6,5π6],
當(dāng)x=π6時,f(x)取值最小值為-1,
當(dāng)x=π2時,f(x)取得最大值為2,
所以函數(shù)f(x)的值域為[-1,2].
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x-π6),
由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知:單調(diào)遞增區(qū)間為[2kππ2,2kπ+π2](k∈Z).
2kππ22xπ62kπ+π2(k∈Z).
解得:π6+kπxπ3+kπ(k∈Z).
又∵x∈[0,π]
當(dāng)k=0時,可得:0xπ3
當(dāng)k=1時,可得:5π6xπ
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,π3]和[5π6,π].

點評 本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的綜合運用能力和計算能力,對三角函數(shù)的理解!屬于中檔題.

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