【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點E，F，G分別為棱AB，AA1，C1D1的中點．下列結論中，正確結論的序號是______．

①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②B1D1∥平面EFG；

③BD1⊥平面ACB1；

④異面直線EF與BD1所成角的正切值為；

⑤四面體ACB1D1的體積等于a3

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)公理3，作截面可知①正確；根據(jù)直線與平面的位置關系可知②不正確；根據(jù)線面垂直的判定定理可知③正確；根據(jù)異面直線所成的角的定義求得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，可知④正確；用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知⑤不正確．

解：延長EF分別與B1A1，B1B的延長線交于N，Q，連接GN交A1D1于H，

設HG與B1C1的延長線交于P，連接PQ交CC1于I，交BC于M，

連FH，HG，GI，IM，ME，則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確；

B1D1與HG相交，故B1D1與平面 EFG相交，所以②不正確；

∵BD1⊥AC，BD1⊥B1C，且AC與B1C相交，所以BD1⊥平面ACB1，故③正確；

取的中點，連接，則，

所以就是異面直線EF與BD1的夾角，

設正方體的邊長為，可得：,,,

所以是直接三角形.可得：.

可得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為，故④正確；

四面體ACB1D1的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，

即為，故⑤不正確．

故答案為：①③④

練習冊系列答案
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【題目】“一帶一路”近年來成為了百姓耳熟能詳?shù)臒衢T詞匯，對于旅游業(yè)來說，“一帶一路”戰(zhàn)略的提出，讓“絲路之旅”超越了旅游產品、旅游線路的簡單范疇，賦予了旅游促進跨區(qū)域融合的新理念. 而其帶來的設施互通、經濟合作、人員往來、文化交融更是將為相關區(qū)域旅游發(fā)展帶來巨大的發(fā)展機遇.為此，旅游企業(yè)們積極拓展相關線路；各地旅游主管部門也在大力打造絲路特色旅游品牌和服務.某市旅游局為了解游客的情況，以便制定相應的策略. 在某月中隨機抽取甲、乙兩個景點10天的游客數(shù)，統(tǒng)計得到莖葉圖如下：

（1）若將圖中景點甲中的數(shù)據(jù)作為該景點較長一段時期內的樣本數(shù)據(jù)，以每天游客人數(shù)頻率作為概率.今從這段時期內任取4天，記其中游客數(shù)超過130人的天數(shù)為，求概率 ；

（2）現(xiàn)從上圖20天的數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩景點中各取1天），記其中游客數(shù)不低于125且不高于135人的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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（2）若，棱上有一點，且，使得二面角的余弦值為，求的值.

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【題目】為了了解某片經濟林的生長情況，隨機測量其中的100棵樹的底部周長，得到如下數(shù)據(jù)（單位：cm）：

135 98 102 110 99 121 110 96 100 103

125 97 117 113 110 92 102 109 104 112

109 124 87 131 97 102 123 104 104 128

105 123 111 103 105 92 114 108 104 102

129 126 97 100 115 111 106 117 104 109

111 89 110 121 80 120 121 104 108 118

129 99 90 99 121 123 107 111 91 100

99 101 116 97 102 108 101 95 107 101

102 108 117 99 118 106 119 97 126 108

123 119 98 121 101 113 102 103 104 108

（1）列出頻率分布表；

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A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ②④

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A. B.

C. D.

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