Question

給出下列四個(gè)命題：
①“x＜1”是“x²＜1”的充分不必要條件
②若f（x）是定義在[-1，1]的偶函數(shù)且在[-1，0]上是減函數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sinθ）＜f（cosθ）
③若f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，則f（1）+f′（1）=3
④若f（x）=lg（

x2+1

-x），則f（lg2）+f（lg

1

2

）=0
⑤函數(shù)f（x）=e^x+x-2在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由于“-1＜x＜1”?“x²＜1”，可得“x＜1”與“x²＜1”關(guān)系；
②由于f（x）是定義在[-1，1]的偶函數(shù)且在[-1，0]上是減函數(shù)，可得f（x）在[0，1]上是增函數(shù)．
由于θ∈（

π

4

，

π

2

），可得cosθ＜sinθ，即可判斷出；
③由f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，可得f′(1)=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2，即可判斷出．
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，利用f（x）+f（-x）=0，f（lg

1

2

）=f（-lg2），即可判斷出；
⑤利用已知可得f（0）f（1）＜0．和函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可判斷出．

解答： 解：①∵“-1＜x＜1”?“x²＜1”，∴“x＜1”是“x²＜1”的必要不充分條件，因此不正確；
②若f（x）是定義在[-1，1]的偶函數(shù)且在[-1，0]上是減函數(shù)，則f（x）在[0，1]上是增函數(shù)．
∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴0＜cosθ＜sinθ＜1，f（sinθ）＞f（cosθ），因此不正確；
③若f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，
∴f′(1)=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

．
∴f（1）+f′（1）=

1

2

+

5

2

=3，正確．
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，∵f（x）+f（-x）=lg（

x2+1

-x）+lg(

x2+1

+x)=lg1=0，
∴f（lg2）+f（lg

1

2

）=f（lg2）+f（-lg2）=0，正確；
⑤∵f（0）=1-2=-1，f（1）=e+1-2=e-1＞0，∴f（0）f（1）＜0．
∴函數(shù)f（x）=e^x+x-2在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，正確．
綜上可知：只有③④⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)判定定理、充分必要條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．