Question

已知點(diǎn)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足：．記數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，
（1）求數(shù)列a_n和b_n的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)f（x）=a^x的圖象上一點(diǎn)，所以a=，所以f（x）=，即可得到數(shù)列的前3項(xiàng)，進(jìn)而求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222915588523122/SYS201311012229155885231018_DA/3.png">=，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂項(xiàng)相消的方法可得：T_n=；進(jìn)而把原不等式化簡(jiǎn)為：當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt＞0恒成立；設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函數(shù)的有界性解決恒成立問題即可得到答案．
解答：解：（1）因?yàn)閒（1）=a=，所以f（x）=，
所以，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，所以，所以c=1．
又公比q=，所以；
由題意可得：=，
又因?yàn)閎_n＞0，所以；
所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，并且有；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因?yàn)閿?shù)列前n項(xiàng)和為T_n，
所以
=
=；
因?yàn)楫?dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，
所以只要當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函數(shù)g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以，
解得t≤-2或t≥2或t=0，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）或者t=0．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列、不等式與函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和的方法，以及把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題．