【題目】如圖,邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直,M,Q分別為PC,AD的中點.
(1)求證:PA∥平面MBD;
(2)求二面角P﹣BD﹣A的余弦值.
【答案】
(1)證明:連接AC、BD交于點O,連接OM.
則AO=OC,又PM=MC,
∴PA∥OM.
∵PA平面BMD,OM平面BMD,
∴PA∥平面BMD
(2)證明:解:以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,過A作平面ABCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,
則P(0,2,2 ),B(4,0,0),D(0,4,0),
=(﹣4,2,2 ), =(﹣4,4,0),
設平面BPD的法向量 =(x,y,z),
則 ,
取x=1,得 =(1,1, ),
平面ABD的法向量 =(0,0,1),
設二面角P﹣BD﹣A的平面角為θ,
則cosθ= = = .
∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值為
【解析】(1)連接AC、BD交于點O,連接OM,推導出PA∥OM,由此能證明PA∥平面BMD.(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,過A作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,點E在棱PD上,且DE=2PE.
(Ⅰ)求異面直線PA與CD所成的角的大。
(Ⅱ)求證:BE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角A﹣PD﹣B的大。
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【題目】己知直線2x﹣y﹣4=0與直線x﹣2y+1=0交于點p.
(1)求過點p且垂直于直線3x+4y﹣15=0的直線l1的方程;(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
(2)求過點P并且在兩坐標軸上截距相等的直線l2方程(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
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【題目】關于實數(shù)x的不等式﹣x2+bx+c<0的解集是{x|x<﹣3或x>2},則關于x的不等式cx2﹣bx﹣1>0的解集是( )
A.(﹣ , )
B.(﹣2,3)
C.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)
D.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞)
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S3=﹣15,且a1+1,a2+1,a4+1成等比數(shù)列,公比不為1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F與橢圓C的一個焦點重合,且拋物線的準線與橢圓C相交于點 .
(1)求拋物線的方程;
(2)過點F是否存在直線l與橢圓C交于M,N兩點,且以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓C的焦點分別為F1(﹣2 ,0)和F2(2 ,0),長軸長為6,設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點.求:線段AB的中點坐標.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,異面直線AB1與BC1所成的角為 , 二面角C1﹣AB﹣C的大小為 . (均用度數(shù)表示)
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