Question

如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min．在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cosA＝，cosC＝．

(1) 求索道AB的長；

(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

(3) 為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

 (1) 在△ABC中，因?yàn)閏osA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝．

從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝．

由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的長為1 040 m．

(2) 假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得

d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)，

因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．

(3) 由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C．設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．