Question

（2012•靜安區(qū)一模）某市地鐵連同站臺(tái)等附屬設(shè)施全部建成后，平均每1公里需投資人民幣1億元．全部投資都從銀行貸款．從投入營(yíng)運(yùn)那一年開(kāi)始，地鐵公司每年需歸還銀行相同數(shù)額的貸款本金0.05億元．這筆貸款本金先用地鐵營(yíng)運(yùn)收入支付，不足部分由市政府從公用經(jīng)費(fèi)中補(bǔ)足．地鐵投入營(yíng)運(yùn)后，平均每公里年?duì)I運(yùn)收入（扣除日常管理費(fèi)等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長(zhǎng)20%，到第20年后不再增長(zhǎng)．求：
（1）地鐵營(yíng)運(yùn)幾年，當(dāng)年?duì)I運(yùn)收入開(kāi)始超過(guò)當(dāng)年歸還銀行貸款本金？
（2）截至當(dāng)年?duì)I運(yùn)收入超過(guò)當(dāng)年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府已累計(jì)為1公里地鐵支付多少元費(fèi)用？
（精確到元，1億=1×10⁸）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)年?duì)I運(yùn)收入（扣除日常管理費(fèi)等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長(zhǎng)20%，可得地鐵營(yíng)運(yùn)n年的收入，利用當(dāng)年?duì)I運(yùn)收入開(kāi)始超過(guò)當(dāng)年歸還銀行貸款本金，建立不等式，即可求得結(jié)論；
（2）市政府各年為1公里地鐵支付費(fèi)用，第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1，求出n年累計(jì)，將n=8代入得，即可得解．

解答：解：（1）根據(jù)年?duì)I運(yùn)收入（扣除日常管理費(fèi)等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長(zhǎng)20%，可得地鐵營(yíng)運(yùn)n年的收入a_n=0.0124×（1+0.2）^n-1，…（2分）
根據(jù)題意有：0.0124×（1+0.2）^n-1＞0.05，…（4分）
解得n≥9年．
答：地鐵營(yíng)運(yùn)9年，當(dāng)年?duì)I運(yùn)收入開(kāi)始超過(guò)當(dāng)年歸還銀行貸款本金．…（6分）
（2）市政府各年為1公里地鐵支付費(fèi)用
第1年：0.05-0.0124；
第2年：0.05-0.0124×1.2；
…
第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1．…（2分）
n年累計(jì)為：0.05n-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2^n-1]，…（4分）
將n=8代入得，0.05×8-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2⁷]=0.1954113485億．…（8分）
答：截至當(dāng)年?duì)I運(yùn)收入超過(guò)當(dāng)年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府累計(jì)為一公里地鐵共支付19541135元費(fèi)用．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列模型，考查數(shù)列的求和，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的模型，屬于中檔題．