Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足BD•BE=BA•BF．
求證：
（1）EF⊥FB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用BD•BE=BA•BF，可得，從而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直徑，即可得到結(jié)論；
（2）先證明E、F、A、D四點(diǎn)共圓，從而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直徑，可證結(jié)論成立．
解答：（1）證明：連接AD，則∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，∵BD•BE=BA•BF，∴…．．（2分）
又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．（4分）
則∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．（5分）
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四點(diǎn)共圓；                   …（7分）
∴∠DFB=∠AEB…．．（9分）
又AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的相似，考查四點(diǎn)共圓，掌握三角形相似的判定方法是關(guān)鍵．