Question

（本小題13分）已知定義在的奇函數(shù)滿足：①；②對(duì)任意均有；③對(duì)任意，均有．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）證明：在上為增函數(shù)；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意的恒成立？若存在，求出的k范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

（1）；（2）證明如下；（3）存在，當(dāng)時(shí)，滿足題意；

【解析】

試題分析：（1）利用條件，通過賦值運(yùn)算可得到，對(duì)m，n再進(jìn)行賦值，即可得到；（2）證明函數(shù)的單調(diào)性，通常有兩種方法，一種是用定義法，一種是用導(dǎo)數(shù)法，本題中，是一個(gè)抽象函數(shù)，只能采用定義法，若，得出，則函數(shù)為增函數(shù)，若，得出，則函數(shù)為減函數(shù)；（3）主要是針對(duì)二次函數(shù)來討論，通過二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及最值來分情況，同學(xué)們?cè)谧龃祟悊栴}時(shí)，要緊緊抓住圖像，數(shù)形結(jié)合來解決問題往往是直觀有效的；

試題解析：（Ⅰ）由，

令，，則，且有對(duì)任意均成立，

令即有，得；

（Ⅱ）由有，只需就好

設(shè)，其中，則，故，

則，所以，

即，，在單調(diào)遞增

（Ⅲ）由，

令，有，，

令，由，故，由奇偶性 ，

則的解集是 ，

于是問題等價(jià)于是否存在實(shí)數(shù)k使，

或對(duì)任意的恒成立，

令，問題等價(jià)于

或對(duì)恒成立，

令，則對(duì)恒成立的必要條件是

即得，此時(shí)無解；

同理恒成立的必要條件是，即，

解得，得；

當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，在區(qū)間的右側(cè)，

在單調(diào)遞減，恒成立成立，

故時(shí)，恒成立；

（2）當(dāng)時(shí)， ，在先減后增，

恒成立還需，即，

化簡(jiǎn)為，，即，解得．

故有解得；

綜上所述存在，使對(duì)任意的恒成立．

考點(diǎn)：用定義法證明單調(diào)性二次函數(shù)分情況討論

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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