Question

下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M，N是所在邊的中點，雙曲線均以圖中的F₁，F(xiàn)₂為焦點，設圖示①②③中的雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，e₃、則e₁，e₂，e₃的大小關系為（　�。�

• A、e₁＞e₂＞e₃
• B、e₁＜e₂＜e₃
• C、e₂=e₃＜e₁
• D、e₁=e₃＞e₂

Answer 1

分析：根據(jù)題設條件，分別建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求出圖示①②③中的雙曲線的離心率e₁，e₂，e₃，然后再判斷e₁，e₂，e₃的大小關系．

解答：解：①設等邊三角形的邊長為2，以底邊為x軸，以底邊的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（±1，0），且過點（

1

2

，

3

2

），
∵（

1

2

，

3

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 -1

2

，c=1，∴e1=

1

3 -1 2

=

3

+1．
②正方形的邊長為

2

，分別以兩條對角線為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點坐標為（-1，0）和（1，0），且過點（

1

2

，

1

2

）．
∵點（

1

2

，

1

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 - 2

4

，c=1，∴e2 =

1

10 - 2 4

=

10 + 2

2

．
③設正六邊形的邊長為2，以F₁F₁所在直線為x軸，以F₁F₁的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（-2，0）和（2，0），且過點（1，

3

），
∵點（1，

3

）到兩個焦點（-2，0）和（2，0）的距離分別為2

3

和2，
∴a=

3

-1，c=2，∴e3= 

2

3 -1

=

3

+1．
所以e₁=e₃＞e₂．故選D．

點評：恰當?shù)亟�立坐標系是正確解題的關鍵．