Question

已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，若

①求的最值：

②求證：四邊形ABCD的面積為定值.

Answer 1

（1）；（2）①的最小值為，最大值為；②.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)離心率寫(xiě)出有關(guān)的等式，將點(diǎn)代入橢圓方程，同時(shí)橢圓中三個(gè)等式聯(lián)立求得的值，得到所求橢圓的方程；（2）①直線的斜率存在時(shí)與（1）中的橢圓方程聯(lián)立，又韋達(dá)定理得到，同時(shí)又得到，化簡(jiǎn)得到關(guān)于和的關(guān)系，所以要求的，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)得到,綜上得到的最小值為，最大值為；②根據(jù)已知條件及橢圓的對(duì)稱性知，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，得到,進(jìn)而得到四邊形的面積為定值.

試題解析：;

（2）設(shè)

，

.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理；3.弦長(zhǎng)公式.