【題目】已知函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)關(guān)于的不等式在恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)關(guān)于的方程有兩個實根, ,求證: .
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由,得,且又,即可求解切線方程;
(2)由題意知在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值,進而可求解實數(shù)的取值范圍;
(3)由,則,令,
得,得恒成立,即,
不妨設(shè),則,再根據(jù)(2)中的結(jié)論,即可作出證明.
試題解析:
(1)對函數(shù)求導(dǎo)得,
又 曲線在處的切線方程為,即;
(2)記 ,其中,
由題意知在上恒成立,下求函數(shù)的最小值,
對求導(dǎo)得,令,得,
當變化時, , 變化情況列表如下:
0 | |||
極小值 |
, ,
記,則,令,得.
當變化時, , 變化情況列表如下:
1 | |||
0 | |||
極大值 |
,
故當且僅當時取等號,
又,從而得到;
(3)先證,
記 ,則,令,得,當變化時, , 變化情況列表如下:
- | 0 | + | |
極小值 |
∴ , 恒成立,
即,記直線, 分別與交于, ,
不妨設(shè),則 ,
從而,當且僅當時取等號,
由(2)知, ,則 ,
從而,當且僅當時取等號,
故 ,
因等號成立的條件不能同時滿足,故.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽,為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x,y的值;
(2)估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分;
(3)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足,且,正項數(shù)列滿足,其前7項和為42.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)令,數(shù)列的前項和為,若對任意正整數(shù),都有,求實數(shù)的取值范圍;
(3)將數(shù)列的項按照“當為奇數(shù)時,放在前面;當為偶數(shù)時,放在前面”的要求進行排列,得到一個新的數(shù)列:,求這個新數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左右頂點分別為,右焦點為,焦距為,點是橢圓C上異于兩點的動點, 的面積最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線與直線交于點,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并作出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點,求實數(shù)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,tanA是以﹣4為第三項,4為第七項的等差數(shù)列的公差,tanB是以2為公差,9為第五項的等差數(shù)列的第二項,則這個三角形是( )
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中, 為正三角形, , , 與中心點,將沿邊折起,使點至點,已知與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求已知二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線不過原點.
(1)求過點且與直線垂直的直線的方程;
(2)直線與兩坐標軸相交于A、B兩點,若直線與點A、B的距離相等,且過原點,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓關(guān)于直線對稱的圓為.
(1)求圓的方程;
(2)過點作直線與圓交于兩點, 是坐標原點,是否存在這樣的直線,使得在平行四邊形中?若存在,求出所有滿足條件的直線的方程;若不存在,請說明理由.
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