Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，P是橢圓C₁上任意一點，設該雙曲線C₂：以橢圓C₁的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C₂在第一象限內的任意一點，且
（1）設的最大值為2c²，求橢圓離心率；
（2）若橢圓離心率時，是否存在λ，總有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P點坐標，可知橢圓焦點坐標，進而表示出，把點P坐標代入橢圓方程求得y，代入中求得x²=a²時，最大值為b²，進而推斷出b²=2c²，根據a，b和c的關系求得a和c的關系，則離心率可得．
（2）根據離心率可求得a和c的關系，設出雙曲線方程，設B（x，y）代入雙曲線方程，先看當AB⊥x軸時，可求得x和y進而求得∠BAF₁==2∠BF₁A；在看x≠2c時．表示出tanBAF₁和tan∠BF₁A，利用正切的二倍角公式求得tan2∠BF₁A和tan2∠BF₁A得出tan2∠BF₁A=tanBAF₁的結論，進而判斷出2∠BF₁A=∠BAF₁成立，最后綜合的可得結論．
解答：解：（1）設P（x，y），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴=（-c-x，-y），=（c-x，-y）
∴=x²+y²-c²
又，得y²=b²-
∵0≤x²≤a²，
∴=（1-）x²+b²-c²=x²+b²-c²．
x²=a²時，最大值為b²
故b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e==
（2）由橢圓離心率e=，a=2c，b=c得雙曲線C₂：-=1，A（2c，0）
設B（x，y）（x＞0，y＞0）則-=1
①當AB⊥x軸時，x=2c，y=3c．
∴tan∠BF₁A=1，
∴∠BF₁A=45°
∴∠BAF₁==2∠BF₁A．
當x≠2c時．
tanBAF₁==，tan∠BF₁A=，
∴tan2∠BF₁A==
∵y²=3c²（-1）=3（x²-c²）
∴tan2∠BF₁A===tanBAF₁，

又2∠BF₁A與∠BAF₁同在（0，）或（，π）內
2∠BF₁A=∠BAF₁
總2∠BF₁A=∠BAF₁有成立．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，向量的基本計算，正切的二倍角公式等．考查了學生綜合分析和推理能力．