已知函數(shù)（ 是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，試求的最大值．

 

【答案】

（1）

（2）當時，不等式的解為；當時，不等式的解為

（3）3

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，

因為函數(shù)的最小值為，所以．              3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

當時，， 5分

故不等式可化為：，

即，           6分

得，

所以，當時，不等式的解為；

當時，不等式的解為．          8分

（Ⅲ）∵當且時，，

∴.

∴原命題等價轉化為:存在實數(shù)，使得不等式對任意恒成立.        10分

令.

∵，∴函數(shù)在為減函數(shù).       11分

又∵，∴.          12分

∴要使得對，值恒存在，只須．     13分

∵，

且函數(shù)在為減函數(shù)，

∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．   14分

考點：函數(shù)與不等式

點評：主要是考查了函數(shù)與不等式的綜合運用，以及導數(shù)研究函數(shù)單調性的求解屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：甘肅省蘭州一中2010屆高三上學期期末考試數(shù)學(理)試題 題型：044

已知函數(shù)(e是自然對數(shù)的底)，

(1)若函數(shù))f(x)是(－1，＋∞)上的增函數(shù)，求k的取值范圍；

(2)若對任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省泉州市高三畢業(yè)班質量檢查文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，試求的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省河西五市高三第二次聯(lián)合考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省高三第十次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求的單調區(qū)間；

 （2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

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