(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(
…是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為
.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)已知且
,試解關(guān)于
的不等式
;
(Ⅲ)已知且
.若存在實數(shù)
,使得對任意的
,都有
,試求
的最大值.
(1) (2)構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)求解最值得到不等式的證明。
(3) 滿足條件的最大整數(shù)的值為3.
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)因為,所以
,故
,
因為函數(shù)的最小值為
,所以
. ………………
3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.
當時,
,……… 5分
故不等式可化為:
,
即, ………………
6分
得,
所以,當時,不等式的解為
;
當時,不等式的解為
. …………… 8分
(Ⅲ)∵當且
時,
,
∴.
∴原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù),使得不等式
對任意
恒成立. ……………
10分
令.
∵,∴函數(shù)
在
為減函數(shù). …………… 11分
又∵,∴
. …………… 12分
∴要使得對,
值恒存在,只須
.………… 13分
∵,
且函數(shù)在
為減函數(shù),
∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3.…… 14分
考點:導數(shù),函數(shù)。
點評:本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=
,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數(shù)學理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(
)在函數(shù)
的圖像上,其中
=
.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設,求
及數(shù)列{
}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{
}的前n項和
,并證明
.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天(
)的銷售價格(單位:元)為
,第
天的銷售量為
,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第
天的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求,
滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范圍;
⑶ 證明:(
)
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