Question

某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)An=

a1+a2+…+an

n

，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新．證明：須在第9年初對(duì)M更新．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)對(duì)n的分段討論，得到一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（II）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出A_n，判斷出其兩段的單調(diào)性，求出兩段的最小值，與80比較，判斷出須在第9年初對(duì)M更新．

解答：解：（I）當(dāng)n＜6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為-10的等差數(shù)列
a_n=120-10（n-1）=130-10n
當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{a_n}是以a₆為首項(xiàng)，公比為

3

4

的等比數(shù)列，又a₆=70
所以an=70×(

3

4

)n-6
因此，第n年初，M的價(jià)值a_n的表達(dá)式為an=

130-10n(n≤6) 70× ( 3 4 )n-6(n≥7)

（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差、等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n
當(dāng)n≥7時(shí)，由于S₆=570故
S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=570+

70× 3 4 ×[1-( 3 4 )n-6]

1- 3 4

=780-210×(

3

4

)n-6An=

780-210×( 3 4 )n-6

n

因?yàn)閧a_n}是遞減數(shù)列，
所以{A_n}是遞減數(shù)列，
又A8=

780-210×( 3 4 )2

8

=82

47

64

＞80
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

=76

79

96

＜80
所以須在第9年初對(duì)M更新．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、考查分段函數(shù)的問題要分到研究．