【題目】(本小題滿分13分)
如圖5,已知點是圓心為半徑為1的半圓弧上從點數(shù)起的第一個三等分點,是直徑,,平面,點是的中點.
(1)求二面角的余弦值.
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)
(2)
【解析】
試題分析:想求二面角的余弦值,得需要建立適當?shù)淖鴺讼,根?jù)題中所給的條件,可以得出從一個起點出發(fā)的三條互相垂直的直線,符合建立坐標系的條件,求出相應的面的法向量,從而得出二面角的余弦值,對于第二問,可以通過三棱錐的體積相等來處理,也可以通過某個向量在法向量上的投影的問題來解決.
試題解析:
解 :(1)∵是圓心為半徑為1的半圓弧上
從點數(shù)起的第一個三等分點,∴∠AOC=60,
∴是等邊三角形,
∴. (1分)
∵C是圓周上的點,AB是直徑,∴,∴ (2分)
又平面,∴兩兩垂直. 以點為坐標原點,、、分別為、、軸的正向,建立空間直角坐標系,則,,,,,, (3分)
于是,,,. (4分)
設為平面的法向量,為平面的法向量,
,,取得. (5分)
,,
取得. (6分)
, (7分)
因此,二面角的余弦值是. (8分)
(2)方法一:由(1)知 (9分)
設為平面的法向量,則
,即,取得. (10分)
設向量和所成的角為,則(12分)
設點到平面的距離為,則. (13分)
方法二:由(1)知,
因為直線平面,所以,,,
于是,,
.
因為,點是的中點,所以. (9分)
因此,, (10分)
從而,, (11分)
. (12分)
因為,,設點到平面的距離為,則有,即,于是,. (13分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設是函數(shù)的導函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若,函數(shù)在區(qū)間內有零點,證明: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某次戰(zhàn)役中,狙擊手A受命射擊敵機,若要擊落敵機,需命中機首2次或命中機中3次或命中機尾1次,已知A每次射擊,命中機首、機中、機尾的概率分別為0.2、0.4、0.1,未命中敵機的概率為0.3,且各次射擊相互獨立。若A至多射擊兩次,則他能擊落敵機的概率為( )
A. 0.23 B. 0.2 C. 0.16 D. 0.1
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【題目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗方案:方案甲:逐個化驗,直到能確定感染為止.方案乙:將6只分為兩組,每組三個,并將它們混合在一起化驗,若存在病毒,則表明感染在這三只當中,然后逐個化驗,直到確定感染為止;若結果不含病毒,則在另外一組中逐個進行化驗.
(1)求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率.
(2)首次化驗化驗費為10元,第二次化驗化驗費為8元,第三次及其以后每次化驗費都是6元,列出方案甲所需化驗費用的分布列,并估計用方案甲平均需要體驗費多少元?
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【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為,研究中發(fā)現(xiàn)與成正比,且當時, .
(1)求出關于的函數(shù)解析式;
(2)計算一條鮭魚的游速是時耗氧量的單位數(shù);
(3)當鮭魚的游速增加時,其耗氧量是原來的幾倍?
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【題目】判斷下列對應是否為集合A到集合B的函數(shù).
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=Z,B=Z,f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,,側面底面,且是以為底的等腰三角形.
(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若四棱錐的體積等于.問:是否存在過點的平面分別交,于點,使得平面平面?若存在,求出的面積;若不存在,請說明理由.
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【題目】我國古代數(shù)學家劉徽是公元三世紀世界上最杰出的數(shù)學家,他在《九章算術圓田術》注中,用割圓術證明了圓面積的精確公式,并給出了計算圓周率的科學方法.所謂“割圓術”,即通過圓內接正多邊形細割圓,并使正多邊形的周長無限接近圓的周長,進而來求得較為精確的圓周率(圓周率指圓周長與該圓直徑的比率).劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的,易知圓的內接正六邊形可分為六個全等的正三角形,每個三角形的邊長均為圓的半徑
,此時圓內接正六邊形的周長為
,此時若將圓內接正六邊形的周長等同于圓的周長,可得圓周率為3,當用正二十四邊形內接于圓時,按照上述算法,可得圓周率為__________.(參考數(shù)據(jù):
)
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設是橢圓上的點,直線與(為坐標原點)的斜率之積為.若動點滿足,試探究是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標;若不存在,請說明理由.
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