Question

【題目】在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手（1～6）登臺(tái)演出，由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，另在2號(hào)至6號(hào)中隨機(jī)的選2名；媒體乙不欣賞2號(hào)歌手，他必不選2號(hào)；媒體丙對(duì)6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號(hào)歌手中隨機(jī)的選出3名．
（1）求媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率；
（2）X表示3號(hào)歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號(hào)歌手”，

事件B表示“媒體乙選中3號(hào)歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號(hào)歌手”，

P（A）= = ，P（B）= = ，

媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率：

P（A ）=P（A）（1﹣P（B））= = ．

（2）解：P（C）= ，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，

P（X=0）=P（ ）=（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= ，

P（X=1）=P（A ）+P（ ）+P（ ）

= +（1﹣ ）× = ，

P（X=2）=P（AB ）+P（A ）+P（ ）= +（1﹣ ）× = ，

P（X=3）=P（ABC）= = ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

EX= =

【解析】（1）設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號(hào)歌手”，事件B表示“媒體乙選中3號(hào)歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號(hào)歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式能求出媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率．（2）先由等可能事件概率計(jì)算公式求出P（C），由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．