Question

已知函數f（x）=x²-2ax+1，且函數f（x）在（-∞，-1]上是單調遞減函數，在[1，+∞）上是單調遞增函數．
（1）求實數a的取值集合A；
（2）設函數g（x）=-x²-x+

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，若對任意a∈A及t∈[-1，1]都有不等式m²+2tm+1≥g（a）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的單調性可知二次函數的對稱軸，結合二次函數的對稱性建立等量關系，解之即可．
（2）由（1）求得-1≤a≤1，于是可求得g（a）∈[-

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，1]，不等式m²+tm+1≥g（a）可化為對任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立?m²+tm+1≥1對任意t∈[-1，1]恒成立，從而可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x²-2ax+1的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
若函數f（x）在（-∞，-1]上是單調遞減函數，在[1，+∞）上是單調遞增函數，
則a∈[-1，1}，
即A=[-1，1]，
（2）∵g（a）=-a²-a+

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=-（a+

1

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）²+1，
∴當a∈A=[-1，1]時，g（a）∈[-

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，1]，
若對任意a∈A及t∈[-1，1]都有不等式m²+2tm+1≥g（a）成立，
即m²+2tm+1≥1對任意t∈[-1，1]成立，
令h（t）=m²+2tm，則

h(-1)≥0 h(1)≥0

，
即

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，
解得：m≤-2，或m≥2

點評：本題考查利用導數研究函數單調性的性質，考查函數恒成立問題，考查綜合法與分析法的應用，（2）中求得g（a）∈[-

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，1]是關鍵，也是難點．屬于難題．