Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x+a在區(qū)間[1，3]上的圖象總在x軸的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=ax²+x+a在區(qū)間[1，3]上的圖象總在x軸的上方，則ax²+x+a＞0在1≤x≤3時(shí)恒成立，也即a（x²+1）＞-x在1≤x≤3時(shí)恒成立，
故a＞-

x

x2+1

在1≤x≤3時(shí)恒成立，
令f（x）=-

x

x2+1

，只要a＞f_最大值（x）即可；用導(dǎo)數(shù)求f（x）的最大值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax²+x+a在區(qū)間[1，3]上的圖象總在x軸的上方，則ax²+x+a＞0在1≤x≤3時(shí)恒成立，也即a（x²+1）＞-x在1≤x≤3時(shí)恒成立，
∴a＞-

x

x2+1

在1≤x≤3時(shí)恒成立，
令f（x）=-

x

x2+1

，只要a＞f_最大值（x）即可．
∵x≥1＞0，f′（x）=-

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

=-

1-x2

(x2+1)2

=

(x+1)(x-1)

(x2+1)2

＞0，
∴f（x）在[1，3]上遞增，∴f_最大值（x）=f（3）=-

3

32+1

=-

3

10

，
∴a＞-

3

10

，
∴a的范圍為(-

3

10

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求法，恒成立的問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值處理．