Question

有如下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=|x-1|在x=1處連續(xù)且f′（1）=1；
②f（x）在x₀處可導(dǎo)g（x）在x₀處不可導(dǎo)，則f（x）•g（x）在x₀處一定不可導(dǎo)；
③函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)且f（x）為奇函數(shù)，則f′（x）為偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在x₀取得極值，則f′（x₀）=0．
其中正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由函數(shù)f（x）=|x-1|在x=1處的左右導(dǎo)數(shù)不等判斷①；舉例說(shuō)明②錯(cuò)誤；由導(dǎo)數(shù)的概念結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷③；舉例說(shuō)明④錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=|x-1|在x=1處連續(xù)但不可導(dǎo)，原因是函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為1，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，f（x）在x₀處可導(dǎo)，g（x）在x₀處不可導(dǎo)，則f（x）•g（x）在x₀處一定不可導(dǎo)，錯(cuò)誤．
如f（x）=x，g（x）=|x|，f（x）在0處可導(dǎo)，g（x）在0處不可導(dǎo)，但f（x）•g（x）=

x2，x＞0 -x2，x＜0

在x=0處的導(dǎo)數(shù)為0；
③函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)且f（x）為奇函數(shù)，則f′（x）為偶函數(shù)，正確．
事實(shí)上，f′(x)=

lim

h→0

f(x+h)-f(x)

h

，f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

，
f（x）為奇函數(shù)，則f（-x+h）=-f（x-h），f（-x）=-f（x），
∴f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

=

lim

h→0

-f(x-h)+f(x)

h

=

lim

h→0

f(x-h)-f(x)

-h

=f′（x）．
∴f′（x）為偶函數(shù)；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）在x₀取得極值，則f′（x₀）=0錯(cuò)誤，如f（x）=|x|在x=0處取得極值，但函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，考查了導(dǎo)函數(shù)的概念，是中檔題．