Question

已知函數.

（1）求函數的最大值；

（2）若函數與有相同極值點，

①求實數的值；

②若對于（為自然對數的底數），不等式恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1），      

由得；由得.

在上為增函數，在上為減函數.       

函數的最大值為.     

（2）.

①由（1）知，是函數的極值點，

又函數與有相同極值點，是函數的極值點，

，解得.       

經驗證，當時，函數在時取到極小值，符合題意. 

②，

易知，即.

.     

由①知.

當時，；當時，.

故在上為減函數，在上為增函數.

，

而.

.  

當，即時，對于，不等式恒成立.

，

.       

當，即時，對于，不等式恒成立.

，

.

綜上，所求實數的取值范圍為.       

考點：導數的應用

點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。