Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2．
（Ⅰ）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，試確定實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，b）上總為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間（-1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對(duì)函數(shù)y=f（x）二次求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題解決即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，討論解不等式即可．

解答：解：由函數(shù)f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2得，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（Ⅰ）若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x²-mx-3＜0在區(qū)間（-1，3）上恒成立，
由二次函數(shù)的圖象，當(dāng)且僅當(dāng)

f″(-1)=1+m-3≤0 f″(3)=9-3m-3≤0

，
即

m≤2 m≥2

?m=2．（7分）
（Ⅱ）當(dāng)|m|≤2時(shí)，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?當(dāng)|m|≤2時(shí)，mx＞x²-3恒成立．（8分）
當(dāng)x=0時(shí)，f″（x）=-3＜0顯然成立．（9分）
當(dāng)x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2．
∴x-

3

x

＜-2．
從而解得0＜x＜1（11分）
當(dāng)x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，
從而解得-1＜x＜0．（13分）
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識(shí)遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．