Question

如圖，用一塊長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形木板，在教室的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的儲(chǔ)物角（使木板垂直于地面的兩邊與墻面貼緊），試問(wèn)應(yīng)怎樣圍才能使儲(chǔ)物角的容積最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：應(yīng)用題,空間位置關(guān)系與距離

分析：求出以木板的寬為三棱柱的高時(shí)，圍成的三棱柱的體積是多少，
再求出以木板的長(zhǎng)為三棱柱的高時(shí)，圍成的三棱柱的體積是多少，二者比較得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)木板與一面墻的夾角為θ，以木板寬1為三棱柱的高，
則棱柱的底面積是：
S=

1

2

•2cosθ•2sinθ=sin2θ≤1，當(dāng)θ=

π

4

時(shí)等號(hào)成立；
此時(shí)棱柱的體積V₁=hS=1×1=1；
若以木板的長(zhǎng)2為三棱柱的高，
則最大體積為V₂=2×

1

4

=

1

2

，
∴V₁＞V₂，
∴應(yīng)取底面為等腰三角形，且高為1時(shí)，圍成的容積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱柱的體積計(jì)算問(wèn)題，也考查了實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)出兩種圍成的三棱柱的方案，是中檔題．