Question

（本小題共13分）

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)E為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：     

(Ⅱ) 求證：

（Ⅲ）在線段AB上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)三角形的中位線，那么可以// ，然后結(jié)合線面平行的判定定理可知結(jié)論。

(2)結(jié)合已知中正方形的心智，以及，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直。

(3)

【解析】

試題分析：（Ⅰ） , 點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接。

的中位線// ……2分

又

                            ……4分

（II） 正方形中, 

由已知可得：， …….6分

,                        …….7分

                                        …….8分

（Ⅲ）由題意可得：,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

      9分

設(shè)

             10分

設(shè)平面的法向量為

則 

得            11分

取是平面的一個(gè)法向量，而平面的一個(gè)法向量為               12分

要使二面角的大小為         

而   

解得：

當(dāng)=時(shí)，二面角的大小為   13分

考點(diǎn)：空間中的線面平行和線線垂直以及二面角的求解

點(diǎn)評(píng)：解決平行和垂直的證明，一般要用到判定定理和性質(zhì)定理，然后結(jié)合空間向量法來(lái)求解二面角，屬于基礎(chǔ)題。